猎犬追狐狸问题1.1

为了研究该经典的问题，我们先回顾平面极坐标的知识。
在平面极坐标系下，质点的运动方程为
   $$\begin{aligned}r&=r(t)\\\varphi&=\varphi(t)\end{aligned} $$
对速度可以进行如下分解
$$ \begin{aligned}v&=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta r_1}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta r_2}{\Delta t}\end{aligned} $$
当Δt→0时，显然第一项为rω，第二项为$$ 
\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta r}{\Delta t} $$
故速度可以表示为
$$\begin{aligned}v&=(\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta r}{\Delta t})\hat{r}+rw\hat{\varphi}\\&=r\hat{r}+r\varphi\hat{\varphi}\\&=v_r\hat{r}+v_\varphi\hat{\varphi}\end{aligned}$$
此为一个重要的等式
加速度暂不用到，故不讨论。
# 情况一：狐狸作圆形轨道
该题原题可见程书P74页 例题2-11
解法1：由于三者在同一直线上，可知三者的角速度相同.
由于狐狸为匀速，我们可以分析猎犬的速度，得到
\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{r}}+\overrightarrow{v_{\theta}}

\overrightarrow{v_{\theta}} 可以求得，为rdθ/dt ，又根据角速度为dθ/dt = V/R ，所以写成Vr/R
求得\overrightarrow{v_{\theta}}后，可以得到
V_{r}=\sqrt{V^{2}-V_{\theta}^{2}}=V\cdot\sqrt{1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2}
变形，整理，
\begin{aligned}\frac{v_{r}}{v_{\theta}}\cdot r=\frac{dr}{d\theta}=\\\frac{rv\sqrt{1-(\frac{r}{R})^{2}}}{\frac{vr}{R}}=R\sqrt{1-(\frac{r}{R})^{2}}\end{aligned}

两边积分,
\int_0^{\theta}d\theta=\int_0^{R}\frac{dr}{R\cdot\sqrt{1-\left(\frac{r}{R}\right)^2}}

得到θ= arcsin r/R
因此 r=Rsinθ
此为极坐标下的轨迹方程.猎狗作圆周运动，如图.
![](https://blog.200802.xyz/usr/uploads/2024/02/2940148049.png)
当\theta=\frac{\pi}{2} 时，猎犬追上了狐狸.
具体变形不难，留待读者自行理解.